Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality
设 $u$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的连续可微实值函数, 则对于 $1\leq p < n $, 存在常数 $C$(仅依赖于 $n,p$), 使得
\[
\|u\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf{R}^n)},
\]
其中 $p^*=\frac{np}{n-p}>p$ 是 $p$ 的 Sobolev 对偶.
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